- Fourier-Transformation
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Fourier-Transformation,ein von dem frz. Mathematiker Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) erfundenes mathematisches Verfahren, eine zeitabhängige Funktion, z. B. ein Signal, in eine frequenzabhängige Funktion umzuwandeln. Die resultierende frequenzabhängige Funktion heißt Fourier-Transformierte. Diese hat den gleichen Informationsgehalt wie die ursprüngliche Funktion, nur in anderer Darstellung. Durch eine inverse Fourier-Transformation erhält man aus der Fourier-Transformierten wieder die Ausgangsfunktion. Für den Fall, dass die ursprüngliche Funktion den zeitlichen Verlauf eines Signals darstellt, gibt die Fourier-Transformierte anschaulich an, aus welchen harmonischen Schwingungen (Sinusschwingungen) das Signal zusammengesetzt ist und mit welcher Stärke die einzelnen Frequenzen zum Signal beitragen.Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) berücksichtigt lediglich genügend viele in gleichen Zeitabständen liegende Punkte einer kontinuierlichen zeitabhängigen Funktion und berechnet daraus eine diskrete Fourier-Transformierte, die nur Frequenzen mit einem bestimmten Frequenzabstand untereinander enthält. Dieser Fall liegt immer vor, wenn ein Signal digital abgetastet wird (Sampling). Die diskrete Fourier-Transformation bildet die Grundlage für die digitale Signal- und Bildverarbeitung. Sie legt Zusammenhänge und Beziehungen offen, die bei der Abtastung und Filterung von Bildern auftreten (Abtasttheorem, Filter). Bei der Bildverarbeitung ist sie z. B. ein Hilfsmittel, um Bildrauschen zu reduzieren. Da das Rauschen in Bildern normalerweise hochfrequent ist, transformiert man die Bildsignale, reduziert hochfrequente Anteile und erhält nach der Rücktransformation ein rauschärmeres Bild. Außerdem wird die digitale Fourier-Transformation zur Bildkodierung eingesetzt.Die schnelle Fourier-Transformation (FFT, engl. fast Fourier transformation, Fourier-Transformation) stellt einen Algorithmus dar, um die diskrete Fourier-Transformation besonders schnell auszuführen. Die Anzahl der Signal- oder Bildpunkte, die zur Berechnung verwendet werden, ist stets eine Zweierpotenz (z. B. 210 = 1024 Punkte). Dadurch ergeben sich viele Wiederholungen in den Berechnungen, von denen die meisten eliminiert werden. Heute stehen verschiedene Umsetzungen der schnellen Fourier-Transformation zur Verfügung, den ersten derartigen Algorithmus entwickelten 1965 William W. Cooley und John W. Tukey.IIFourier-Transformation[fu'rje-; nach J. Fourier], durch einen Integraloperator bewirkte Transformation einer Funktion g in eine Funktion h der Gestaltdie Bedingung, dass für alle reellen Werte von s die Fourier-Transformierte h(s) von g(t) existiert, istDie Funktion g(t) kann für jedes t, in dessen Umgebung g(t) von beschränkter Schwankung ist, aus h(s) durch die Umkehrformel der Fourier-Transformationberechnet werden, wenn die Funktion g(t) stückweise glatt ist und in ihrem Definitionsbereich überall die Bedingungerfüllt; dann erhält man durch Einsetzen die Fourier-Integraldarstellung (das Fourier-Integral) der Funktion g(t):Die diskrete Fourier-Transformation (Abkürzung DFT) bildet die Grundlage für die digitale Signalverarbeitung. Sie ist anwendbar, wenn die Abtastwerte einer kontinuierlichen Funktion benutzt werden, u. a. bei der Berechnung von Leistungsspektren, Kurzzeitspektren, in der Korrelationsanalyse und bei der Realisierung von Filtern und Filterbänken. - Die schnelle Fourier-Transformation (Abkürzung FFT, von englisch Fast Fourier Transform) stellt einen Algorithmus dar, um die diskrete Fourier-Transformation zu berechnen. Sie ist deswegen wichtig, weil sie durch Eliminierung der meisten Wiederholungen in der DFT-Formel eine viel schnellere Berechnung der diskreten Fourier-Transformation erlaubt. Für eine Vielzahl von Anwendungen ist der Algorithmus von William W. Cooley und John W. Tukey hinsichtlich der Rechengeschwindigkeit, des Speicherbedarfs der einfachen Programmstruktur und des Rundungsrauschens ein besonders gut geeignetes Verfahren zur Berechnung der DFT.
Universal-Lexikon. 2012.
